2021年全國碩士研究生入學考試
湖北師范大學自命題考試科目考試大綱
（科目名稱：數(shù)學分析 科目代碼:601）
一、考查目標
數(shù)學分析科目考試內(nèi)容包括極限與連續(xù)、微分學、積分學和級數(shù)要求考生系統(tǒng)掌握相關內(nèi)容的基本知識、基礎理論、基本方法、基本計算，并能運用相關理論和方法分析、解決實際問題。
二、考試形式與試卷結構
（一）試卷成績及考試時間
本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
（三）試卷內(nèi)容結構
各部分內(nèi)容所占分值為：
極限與連續(xù) 約40分
一元微積分 約40分
多元微積分 約40分
無窮級數(shù) 約30分
（四）試卷題型結構
計算題：4小題，每小題15分，共60分
證明題：6小題，每小題15分，共90分
(五)主要參考書目
華東師范大學數(shù)學系主編：《數(shù)學分析》（上、下冊），高等教育出版社2010年。
三、考查范圍
（一）考查目標
1、系統(tǒng)掌握數(shù)學分析原理的基本概念、基礎知識、基本理論和基本計算。
2、掌握和理解極限理論和方法，由此而產(chǎn)生的連續(xù)性、微分學、積分學和無窮級數(shù)。
3、能靈活運用基本定理和基本方法證明問題，能靈活運用基本公式計算問題，以及綜合運用。
（二）考試內(nèi)容
一）集合與函數(shù)
1. 實數(shù)集、有理數(shù)與無理數(shù)的稠密性，實數(shù)集的界與確界、確界存在性定理、閉區(qū)間套定理、聚點定理、有限覆蓋定理。
2. 上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集、閉集、有界（無界）集、上的閉矩形套定理、聚點定理、有限復蓋定理、基本點列，以及上述概念和定理在上的推廣。
3. 函數(shù)、映射、變換概念及其幾何意義，隱函數(shù)概念，反函數(shù)與逆變換，反函數(shù)存在性定理，初等函數(shù)以及與之相關的性質(zhì)。
二）極限與連續(xù)
1. 數(shù)列極限、收斂數(shù)列的基本性質(zhì)（極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質(zhì)）。
2. 數(shù)列收斂的條件（Cauchy準則、迫斂性、單調(diào)有界原理、數(shù)列收斂與其子列收斂的關系），極限及其應用。
3.一元函數(shù)極限的定義、函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、局部有界性、保號性、不等式性質(zhì)、迫斂性），歸結原則和Cauchy收斂準則，兩個重要極限及其應用，計算一元函數(shù)極限的各種方法，無窮小量與無窮大量、階的比較，記號O與o的意義，多元函數(shù)重極限與累次極限概念、基本性質(zhì)，二元函數(shù)的二重極限與累次極限的關系。
4. 函數(shù)連續(xù)與間斷、一致連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)（局部有界性、保號性），有界閉集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致連續(xù)性）。
三）一元函數(shù)微分學
1.導數(shù)及其幾何意義、可導與連續(xù)的關系、導數(shù)的各種計算方法，微分及其幾何意義、可微與可導的關系、一階微分形式不變性。
2.微分學基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余項與Lagrange余項)。
3.一元微分學的應用：函數(shù)單調(diào)性的判別、極值、最大值和最小值、凸函數(shù)及其應用、曲線的凹凸性、拐點、漸近線、函數(shù)圖象的討論、洛必達（L'Hospital）法則、近似計算。
四）多元函數(shù)微分學
1. 偏導數(shù)、全微分及其幾何意義，可微與偏導存在、連續(xù)之間的關系，復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分，一階微分形式不變性，方向?qū)?shù)與梯度，高階偏導數(shù)，混合偏導數(shù)與順序無關性，二元函數(shù)中值定理與Taylor公式。
2.隱函數(shù)存在定理、隱函數(shù)組存在定理、隱函數(shù)（組）求導方法、反函數(shù)組與坐標變換。
3.幾何應用（平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線）。
4.極值問題（必要條件與充分條件），條件極值與Lagrange乘數(shù)法。
五）一元函數(shù)積分學
1. 原函數(shù)與不定積分、不定積分的基本計算方法（直接積分法、換元法、分部積分法）、有理函數(shù)積分：型，型。
2. 定積分及其幾何意義、可積條件（必要條件、充要條件：）、可積函數(shù)類。
3. 定積分的性質(zhì)（關于區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)、絕對可積性、定積分第一中值定理）、變上限積分函數(shù)、微積分基本定理、N-L公式及定積分計算、定積分第二中值定理。
4.無限區(qū)間上的廣義積分、Canchy收斂準則、絕對收斂與條件收斂、非負時的收斂性判別法（比較原則、柯西判別法）、Abel判別法、Dirichlet判別法、無界函數(shù)廣義積分概念及其收斂性判別法。
5. 微元法、幾何應用（平面圖形面積、已知截面面積函數(shù)的體積、曲線弧長與弧微分、旋轉(zhuǎn)體體積），及其它應用。
六）多元函數(shù)積分學
1.二重積分及其幾何意義、二重積分的計算（化為累次積分、極坐標變換、一般坐標變換）。
2.三重積分、三重積分計算（化為累次積分、柱坐標、球坐標變換）。
3.重積分的應用（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量等）。
4.含參量正常積分及其連續(xù)性、可微性、可積性，運算順序的可交換性.含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法，含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性、可積性，運算順序的可交換性。
5.第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質(zhì)、計算。
6.第二型曲線積分概念、性質(zhì)、計算；Green公式，平面曲線積分與路徑無關的條件。
7.曲面的側、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)、計算，奧高公式、Stoke公式，兩類線積分、兩類面積分之間的關系。
七）無窮級數(shù)
1. 數(shù)項級數(shù)
級數(shù)及其斂散性，級數(shù)的和，Cauchy準則，收斂的必要條件，收斂級數(shù)基本性質(zhì)；正項級數(shù)收斂的充分必要條件，比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式；交錯級數(shù)的Leibniz判別法；一般項級數(shù)的絕對收斂、條件收斂性、Abel判別法、Dirichlet判別法。
2. 函數(shù)項級數(shù)
函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性、Cauchy準則、一致收斂性判別法（M-判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法）、一致收斂函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)及其應用。
3.冪級數(shù)
冪級數(shù)概念、Abel定理、收斂半徑與區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)的逐項可積性、可微性及其應用，冪級數(shù)各項系數(shù)與其和函數(shù)的關系、函數(shù)的冪級數(shù)展開、Taylor級數(shù)、Maclaurin級數(shù)。
4.Fourier級數(shù)
三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、2及2周期函數(shù)的Fourier級數(shù)展開、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函數(shù)的Fourier級數(shù)的收斂性定理。
原文標題：2021年全國碩士研究生入學考試湖北師范大學自命題考試科目考試大綱
原文鏈接：http://www.grad.hbnu.edu.cn/2020/0930/c1081a104221/page.htm
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